原點원점을 包含포함하는 三角形삼각형의 外心외심과 內心내심

原點원점 $ O $와 座標좌표가 주어진 두 點점 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $를 頂點정점으로 가지는 三角形삼각형 $ OAB $의 外心외심과 內心내심의 座標좌표를 求구해 보자.

外心외심은 三角形삼각형의 세 頂點정점으로부터 距離거리가 同一동일한 點점이다. 外心외심을 $P(x,y)$라 하면 $|PO| = |PA| = |PB|$의 條件조건을 滿足만족해야 한다.

$ |PO|^2 = |PA|^2 $이면 $ P_x^2+P_y^2 = (P_x-x_1)^2+(P_y-y_1)^2 $이고, 이를 展開전개하고 整理정리하면 다음 方程式방정식을 得얻는다.

$$ x_1 P_x + y_1 P_y = \frac{x_1^2+y_1^2}{2}$$

$ |PA|^2 = |PB|^2 $에서도 같은 方式방식으로

$$ x_2 P_x + y_2 P_y = \frac{x_2^2+y_2^2}{2}$$

이제 두 式식을 聯立연립하여 解해를 求구하자. Cramer크라메르 公式공식에 依의해 外心외심의 座標좌표는 다음과 같다.

$$ P_x = \frac{(x_1^2+y_1^2)\,y_2 - (x_2^2+y_2^2)\,y_1}{2 (x_1 y_2 - x_2 y_1)}$$

$$ P_y = \frac{x_1(x_2^2+y_2^2) - x_2(x_1^2+y_1^2)}{2 (x_1 y_2 - x_2 y_1)}$$

但단, $ x_1 y_2 - x_2 y_1=0 $이면 세 點점이 한 直線직선 위에 있으므로 三角形삼각형 $ OAB $가 存在존재하지 않고 外心외심 또한 存在존재하지 않는다.

內心내심은 各각 頂點정점의 對邊대변의 길이를 加重値가중치로 하는 加重平均가중평균이다.

따라서 $a, b, c$를 각각 $A, B, O$의 對邊대변의 길이라고 하면 內心내심 $I$의 座標좌표는 다음과 같다.

$$I = \frac{a\cdot A + b \cdot B + c \cdot O}{a+b+c}$$

$O=(0,0)$이므로 $c\cdot O$ 項항은 消去소거되어 結果결과는 簡潔간결해진다.

$$I_x = \frac{a\,x_1 + b\,x_2}{a+b+c}, \quad I_y = \frac{a\,y_1 + b\,y_2}{a+b+c}$$